拿下世纪难题之后，OpenAI“污染”了数学？
OpenAI又拿到一个大结果。
美国当地时间9月8日上午，OpenAI宣布使用了一个比 GPT-6 Astra更强大的、未公开的下一代前沿大模型，攻克了克雷数学研究所设立的七大千禧年难题之一 —— 纳维 - 斯托克斯方程（Navier-Stokes Equation）的存在性与光滑性问题。
诶，先别急着感叹现在模型多牛逼，因为这样的成果，从数学整体进步的角度看，可能是净负面的。
不着急喷，因为这句话不是我说的，是陶哲轩说的。
陶哲轩是谁？
数学界的大牛，当代最具影响力的数学家之一，现任美国加州大学洛杉矶分校（UCLA）教授，2006年，他因在偏微分方程、组合数学、调和分析等领域的突出贡献获得菲尔兹奖。
陶哲轩的研究横跨数论、分析、方程、随机矩阵等多个方向，是当代数学界难得的全才，因此也被称为数学界的莫扎特。
近年来，陶哲轩也是积极参与形式化数学、计算机辅助证明以及AI与数学研究的讨论，是观察AI如何改变数学研究方式的重要代表人物之一。
他认为：如果一个在历史上长期推动数学进步、不断激励数学家投入研究的问题——比如 Navier–Stokes 正则性问题——最后只是被变成一条在社交媒体上病毒式传播的消息，用来证明某个 AI 系统又刷新了一个 benchmark，那么我们为此付出的机会成本可能非常高。
相比于“又拿下了一个数学 benchmark”，真正重要的应该是推动整个领域继续向前发展，并在这个过程中孕育出下一代值得提出的问题，以及下一代能够研究这些问题的人。
为什么会有这样的观点？
这与最近几年AI不断解决数学问题有一定关系。
我们简单统计了一下，现在关于AI解决数学问题，有过公开报道的案例就有12项。
现在，解决高难度的数学问题已经成为前沿AI模型证明自己实力最时髦的方式。而这个方式，也确实直观反映了AI模型在这方面的能力进步。
在2021年，AI还只能在数学研究中承担辅助的角色，而2022年，AI就可以开始主导相关研究，人类开始沦为给AI打下手。
到2025年，AI已经可以脱离人类独立的完成相关研究，比较有代表性的成果如Erdős Problem #728，或者Erdős 单位距离猜想。
嗯，我知道，很多人肯定连这个标题都看不明白这些问题，但没关系，我也是。
但这并不妨碍我们从中感知AI模型的能力变得多牛逼，而这恰恰才是AI模型公司想要刻意表现的，他们刻意推动这样的叙事，并不断尝试用这样的能力解决更多新的科学问题。
但这样的趋势真的对吗？
最近，陶哲轩就在数学社交媒体Mathstodon上发表了一篇长文，反思了AI模型越来越多的解决数学问题的趋势。
他认为，很多时候，对于数学问题的研究，真正的价值并不是最终的答案，而是获得答案的过程。
因为人们会在尝试解决问题的过程中创造新的方法、工具和理论；而当部分结果或完整解答出现之后，人们又会进一步理解、消化这些成果，并从中提炼出新的洞见。
如果一个问题过早地被完全依靠AI的方法解决——尤其是在整个求解过程并不完全透明的情况下——那么这种原本能够推动数学发展的过程就可能受到“污染”。
他甚至严肃的提到，从数学整体进步的角度看，AI 提前解决这个问题带来的结果，反而可能是净负面的。
简单来讲，陶哲轩并不是反对用AI研究数学，而是担心AI可能剥夺人类“通过思考而获得新理解的机会”。
我们知道，人类能够不断发展，一个关键的原因，是我们真实地在错误中积累经验，然后再在经验上不断创新。
但AI的研究恰恰掐断了这样的经验积累，AI以封闭，黑箱的方式来解决问题，最终只向人类交付最终证明。
所以我们虽然知道了答案，却没有办法在这个过程中积累经验，对错误进行尝试。
比如最明显的，OpenAI最新解决的纳维 - 斯托克斯方程的存在性与光滑性问题。
OpenAI公布了完整的书面数学证明，同时公开了Lean代码仓库，其中包含可由计算机逐步验证的形式化证明。但也有没完全公开的，比如那270万条 Agent 消息和1300 亿token。
所以我们现在知道AI是“怎样被组织起来做研究的”，也知道最后证明了什么，但它完整地“怎样一步步想到这个证明”，失败过哪些路线、哪一个Agent首先产生关键想法、这个想法经过哪些变形最后成为证明核心，目前也没有完整的可复现研究日志。
我印象深刻的一句话，是一个网友在陶哲轩的评论区提到的，他说：AI正在人类正在会被排斥在人类的经验之外。
而这也就有了陶哲轩的观点，他认为，更理想的路径应当是开放的人机协作，让AI不仅帮助“解题”，更帮助人类形成新的理解、提出新的问题，并推动整个数学领域继续向前发展。
以下是陶哲轩9月3日在Mathstodon上发布的原文，由「有界UnKnown」进行翻译：
“AI 在解决关键开放问题上的进展，是否反而可能阻碍一个数学领域未来的发展？”不可压缩 Navier–Stokes 方程的全局正则性问题，以及与之对应的欧拉方程正则性问题，就是一个很具体的例子。
直到不久前，这个问题原本很有希望成为一个典型的“AI辅助数学研究”成功案例：AI既可以帮助数学家解决问题本身，也可以在求解过程中催生新的方法和认识，为这个领域下一阶段的发展铺路。
目前，这些问题仍然没有被解决。但如今，一种过去看起来有些遥远的情景，正在变得越来越现实：我们可能会得到一个主要由AI生成的解答，但得到答案的方式，却反而“污染”了这个问题作为研究资源的价值，使它不再像过去那样，持续推动后续的数学进展。
这些方程本身有着非常自然的物理来源——它们描述的是不可压缩流体。但“正则性问题”之所以重要，并不是因为它具有特别直接的物理应用价值。
事实上，计算流体力学早已发展成一个相当成熟的领域，并广泛应用于大气科学等实际场景。对于这些计算方法能够解决什么问题、在哪些条件下有效、又存在哪些局限，人们已经有了相当深入的认识。
因此，无论最终从理论上证明 Navier–Stokes 方程的解始终保持正则，还是反过来找到某些特殊初始条件，使解在有限时间内形成奇点、发生爆破，这在理论上当然都非常重要，也极具学术价值，但并不会从根本上改变天气预报或气候变化建模等实际工作的方式。
真正使这个问题重要的，是它在数学发展中的作用。
从历史上看，人们每一次试图解决 Navier–Stokes 或欧拉方程的正则性问题，都会带来新的数学思想、工具和定理，并影响流体力学、数学分析和偏微分方程等多个领域。
其中就包括 Leray–Hopf 弱解、Gagliardo–Nirenberg–Ladyzhenskaya 不等式、Prodi–Serrin 部分正则性定理、Beale–Kato–Majda 爆破解判据，以及 Escauriaza–Seregin–Šverák 条件正则性结果，等等。
更广义的湍流理论虽然与这些具体结果并没有直接联系，但至少在思想层面，它也受到了人们长期试图证明或否定全局正则性这一努力的影响。
我自己在这个方向上的一项工作，则是把“流体计算”（fluid computation）和“图灵通用性”（Turing universality）的概念引入这一问题。这个方向后来还意外建立起了与其他数学领域的联系，其中就包括辛拓扑（symplectic topology）。
近年来，随着人们对一些相关流体方程的理解不断深入，一个观点正在逐渐获得越来越多研究者的认同：Navier–Stokes 方程的全局正则性问题，最终答案很可能是否定的。
也就是说，可能确实存在某些非常特殊的初始条件，使 Navier–Stokes 方程的解在有限时间内形成奇点。
而且，现在甚至已经可以勾勒出一条相对明确的寻找路线。
第一步，构造一种近似自相似（nearly self-similar）的假设形式（ansatz），用它来描述一个可能在有限时间内发生爆破的解。
第二步，在这一假设框架下寻找一个近似解。这个解需要在数值计算中以极高精度满足所设定的结构，只留下一个极其微小、并且可以精确计算的残差（residual）。
第三步，在经过适当重整化（renormalization）的坐标系中，证明这一假设形式在该数值解附近具有稳定性。也就是说，只要残差足够小，就能够通过微小调整，把这个近似解修正为一个真正严格成立的精确解。
第四步，验证实际计算得到的残差确实低于上述稳定性所允许的阈值。
如果这四步都能够完成，那么原则上就有可能把一个通过数值计算找到的“近似爆破解”，提升成一个严格成立的数学爆破解。
问题在于，这四个步骤中的每一步都极其复杂，而且彼此之间高度耦合、相互制约。
许多看起来最自然、最直接的 ansatz，其实很快就会因为各种原因被排除。比如，有些假设形式会违反能量守恒，因此从一开始就不可能成立。
另一些 ansatz 则没有这么容易排除。它们最初看起来完全可行，但可能只有经过规模极大的数值计算之后，才能最终发现其中隐藏的问题。
尽管如此，仍然可以想象这样一种可能：通过一种近乎“极限攻关”的方式，把机器学习驱动的数值模拟、严格的区间算术、形式化验证，以及由大语言模型提出的 ansatz 候选方案结合起来，再由专业数学家持续指导，并根据每一次失败和反馈不断迭代，最终有可能真正解决这个问题。
只是到了那一步，最终得到的数学构造很可能会复杂到惊人的程度，复杂到无法再依靠纯粹的人力进行完整验证。
它的严格验证，可能必须借助 Lean 这样的形式化证明语言完成；而最终生成的形式化证明文件，甚至可能成为迄今规模最大的数学形式化证明之一。
但即便如此，这样一份庞大到人类几乎无法理解的证明，也并不是整个过程最重要的价值。
真正重要的，是寻找答案的过程本身。
数学家可能先提出一个 ansatz，随后发现究竟是什么障碍使它失败；再根据这个障碍修改原来的假设，尝试消除其中一部分问题；然后继续寻找新的障碍，再进一步修正。
这种不断失败、修正、再失败、再修正的循环，几乎一定会带来关于流体力学和相关数学结构的新认识，而这些认识通过其他途径可能根本无法获得。
尤其关键的是：如果希望这样的迭代真正产生新的数学理解，那么参与迭代的人或系统，最好不要提前知道最终正确的 ansatz 是什么。
因为一旦事先知道终点在哪里，就很容易放弃对其他路线的探索。
但那些表面上看起来只是“死路”的路线，其实往往极有价值。一个方法为什么失败、究竟卡在什么地方，本身就可能揭示出这个问题最深层的结构。
而现在，已经可以设想另一种完全不同的情景。
一个拥有庞大计算资源的自主 AI 系统，可能在内部完成全部这些尝试、失败、修正和迭代，最终找到正确的 ansatz，并由此解决 Navier–Stokes 方程的正则性问题。
与此同时，运行这个系统的 AI 公司，却可能几乎完全不公开它是如何一步步走到最终答案的。
从技术意义上说，这当然意味着数学史上最著名的开放问题之一已经被解决。
但从数学本身的发展来看，这个结果却可能几乎没有带来与其重要性相匹配的价值。
理论上，第三方当然可以再投入极其巨大的努力——而且很可能同样需要大量 AI 辅助——去对最终解答进行“逆向工程”，试图重新还原其中真正有价值的思想、路径和理解。
但这种事后还原的效率，显然会远低于另一种方式：让不同的人类数学家与机器工具共同参与整个探索过程，在不断尝试、失败和修正的过程中逐步得到最终答案。
从根本上说，纯数学中的问题，例如全局正则性问题，与那些具有直接现实目标的问题，承担着完全不同的功能。
寻找某种疾病的治疗方法，或者提高发动机的能源效率，我们真正想要的首先就是结果本身：治愈疾病，或者让机器更加高效。
但纯数学往往不是这样。
在大多数情况下，人们提出一个重要的纯数学问题，并不只是因为我们迫切需要知道这个问题的最终答案。
更重要的是，过去的数学史一再证明：在人类主导下，试图解决这些问题的过程本身，往往会推动整个领域继续向前发展。
人们会在攻克问题的过程中创造新的概念、工具和理论；而当部分结果甚至完整解答出现之后，数学界又会继续理解和消化这些成果，从中提炼新的洞见，再进一步提出新的问题。
正是在这一连串过程中，一个重大数学问题真正发挥了它的价值。
因此，如果一个问题过早地被完全依靠 AI 的方法解决，尤其是在求解过程高度不透明的情况下，那么这个问题原本能够推动数学发展的作用，就可能遭到破坏。
严重的时候，甚至可能出现这样一种情况：从整个数学领域长期进步的角度看，AI提前解决这个问题所产生的总体效果，反而是负面的。
在文章最后，陶哲轩还补充了一条评论，并提到了Navier–Stokes：
针对最近关于 Navier–Stokes 问题可能已经得到解决的一些传言，我还需要特别澄清一点：据我所知，（截至原文发布时的 9月3日），并没有出现任何这方面的重大进展。上面的讨论只是一种假设性的情景。
不过，以当前 AI 技术的发展速度来看，这种情景已经并非完全不可想象。
真正值得担心的问题仍然是：如果一个在历史上长期推动数学进步、不断激励数学家投入研究的问题——比如 Navier–Stokes 正则性问题——最后只是被变成一条在社交媒体上病毒式传播的消息，用来证明某个 AI 系统又刷新了一个 benchmark，那么我们为此付出的机会成本可能非常高。
相比于“又拿下了一个数学 benchmark”，真正重要的应该是推动整个领域继续向前发展，并在这个过程中孕育出下一代值得提出的问题，以及下一代能够研究这些问题的人。
本文来自微信公众号“有界UnKnown”，36氪经授权发布。
