如何做出更好的决策？你需要这份贝叶斯思维指南

开智学堂·2025年12月15日 08:35

概率是生活的真正指南。

信念不是非黑即白，而是有程度的。贝叶斯主义提供了一套用概率推理的工具包。本文通过医学测试、NBA投篮、大学录取等生活化案例，教你如何在不确定性面前做出更好的决策。无论你是在为孩子规划教育投资，还是在做重要的职业选择，贝叶斯思维都能帮你更好地让观点与证据相称。

别人问你相信什么。相信鬼神吗？相信全球变暖吗？相信爱吗？人们说，你的信念决定了你是谁，也决定了你该做什么：「做你认为正确的事。」

这些问题要求非黑即白的答案。但生活远不是这样。对于很多重要问题，三个选项都不够。现在，我正在研究孩子的教育规划，学校的取决于很多变量：他们能进什么学校？什么学校适合他们？如果我们换种方式投资，未来两年、五年、十年会有什么回报？

假设有人试图帮我：「很简单。你相信你大女儿会被 xx 大学录取吗？」我不知道该怎么回答。我不相信她一定会被录取，也不相信她一定不会。我觉得概率略高于 50%，但远谈不上确定。

过去几十年有个重要的概念突破：信念是有程度的。我们不只是「相信」或「不相信」某事。我们的大部分思考和决策，都由不同程度的信心驱动。这些信心程度可以用概率衡量，从 0 到 100%。当我为孩子的教育投资时，只问「我相信股票会跑赢债券吗」太简化了。我不可能知道答案。但我可以尝试给每种结果一个有根据的概率估计，然后据此平衡投资组合。

用概率推理很难。多年研究表明，我们大多数人从小被教育用非黑即白的方式思考。我们会表达中间程度的信心，但不擅长用这些概率进行推理。研究一次次揭示出普通人概率思维中的系统性错误。

幸运的是，历史上有位叫托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）的牧师。他在 18 世纪对概率数学的研究，催生了我们现在称为贝叶斯统计的运动。你可能听过「贝叶斯」这个词。贝叶斯主义的核心是一套用概率推理的工具包。它告诉你如何用数字衡量信心程度，如何测试这些程度是否合理，以及如何随时间管理它们。

最后一点很重要。对于任何给定的说法，你在不同时候的信心是不同的。等我大女儿考完试，我会有关于她大学前景的新证据，并据此调整我的信心程度。贝叶斯主义提供了执行这项工作的方法。

在本指南中，我将提供几个基本的贝叶斯思想来改进你的概率推理。我不能保证让你成为完美的概率推理者。但这能给你一个开始，帮你更好地让观点与证据相称，在不确定性面前做出更好的决策。

思维工具1：接受不确定性

贝叶斯主义的第一步是停止非黑即白的思考。贝叶斯主义者想超越「要么相信要么不相信」的二分法，开始把信念看作有程度的东西。这些程度可以用 0 到 100% 的量表衡量。如果你确定某个事件会发生，那就是 100% 的信心。如果你确定它不会发生，那就是 0%。

但贝叶斯主义者建议不要走极端。很少有情况下，确定某事会发生或不会发生是合理的。1971 年，贝叶斯主义者丹尼斯·林德利（Dennis Lindley）在《Making Decisions》一书中，赞赏地引用了奥利弗·克伦威尔（Oliver Cromwell）的格言：总要「认为你可能是错的」。除非某个事件严格来说不可能，否则你不应该确定它不会发生。

也许我们不应该给任何严格来说可能的事赋予 0 的信心。但我们都听过有人说某种可能性是「百万分之一」。如果某事那么不可能，它几乎就不会发生，对吧？所以百万分之一可以约等于零？同一个林德利也说过，他可以给「月球是绿奶酪做的」赋予百万分之一的信心。

用概率推理时一个常见错误是认为百分点的零头——尤其是接近 0% 或 100% 这样的极端值——真的无关紧要。任何有幸获得高质量现代产前护理的父母都会看到基因检测报告，显示胎儿患某些疾病和出生缺陷的概率。我记得和怀孕的妻子一起看 0.0004% 和 0.019% 这样的概率，琢磨我们该担心什么、可以忽略什么。这么小的概率差异很难直观把握。但 0.019% 的概率几乎是 0.0004% 的 50 倍。

看到 0.0001%（百万分之一）这样的概率值，很容易假设它和 0% 的差别不过是个舍入误差。但概率为 0% 的事件真的不能发生，而概率为 0.0001% 的事件一直在发生。如果你有几分钟和一些零钱，去抛 20 次硬币。无论你观察到什么正反面序列，那个具体序列出现的概率都小于百万分之一。

为了更好地评估几乎不可能和几乎确定的事，贝叶斯主义者有时会从用百分比衡量概率切换到用赔率衡量。如果我给你买了足够的彩票让你有 0.001% 的中奖机会，给你朋友买了足够的彩票让他有 0.1% 的机会，你可能会想你该有多生气。

把这些值转换成赔率形式，我们看到我给了你朋友 1/1000 的机会，而你只有 1/100000。用赔率形式表达概率清楚地表明，你朋友每有 100 张彩票，你只有 1 张，澄清了这两个概率——虽然都接近零——其实有重要差异。

思维工具2：学会逆向推理

贝叶斯牧师做了什么让整个统计运动以他命名？在贝叶斯之前，概率理论关注「直接推理」问题。这是你在学校被要求解决过很多次的那种概率题。告诉你掷两个公平的六面骰子，让你计算它们的和是8的概率。更抽象地说：给你一个关于世界上某个概率过程的假设，让你计算它会产生某种特定证据的概率。

贝叶斯感兴趣的是逆向问题：给定你已经观察到的证据，假设为真的概率是多少？这叫「逆向推理」。如果你掷两个骰子，和是 8，每个骰子显示 6 的概率是多少？或者，看一个实际例子：如果你的医学测试呈阳性，你患病的概率是多少？

统计学家称这个逆向问题为「贝叶斯定理」，因为贝叶斯最早给出了答案。贝叶斯定理是个方程。但基本思想是：当你获得新证据时，应该转向让那个证据更可能的假设。

假设你测试某种罕见疾病呈阳性。这种疾病只影响 0.1% 的人口。但这个测试相当可靠：90% 的患者测试呈阳性，健康人只有 10% 的时间会得到假阳性。你测试呈阳性，那么你患病的概率有多大？

很多人的第一反应是说概率很高——也许 80% 或 90% 。测试很可靠，而且你测试呈阳性了。但快速计算一下：假设你对随机选择的 10000 人进行测试。其中约 10 人会患病，所以他们中有 9 人会得到阳性结果。另一方面，约 9990 人不会患病。由于测试给健康人 10% 的时间假阳性，这 9990 个健康人会产生约 999 个假阳性。所以测试了 10000 人后，你会得到总共 1008 个阳性结果，其中只有 9 个（不到1%）实际患病。

再次，处理极端概率的情况时，用赔率思考会有帮助。强力支持某个假设的证据（比如刚才描述的可靠医学测试）会把该假设的赔率乘以 10 倍，甚至 100 倍。但如果赔率起点足够小，乘以 10 会把你从 1/1000 带到 1/100。

思维工具3：警惕辛普森悖论

贝叶斯主义者经常处理条件概率。当你考虑某个特征在人群的某个子群体中有多普遍，而不是考虑整体人群时，就会出现条件概率。如果你随机挑选一个中国人，他们不太可能都喜欢芝麻酱。但假设他们在北方长大，他们喜欢的概率就高得多。

条件概率的行为相当反直觉。人们认为应该显而易见的简单原则，会以壮观的方式失效。最清楚的例子是辛普森悖论（Simpson's Paradox）。

我们都在生活中学会了不要从单个例子得出宽泛的概括，或者假设小群体能代表整体。一个只通过芝麻酱就评判中国人口味偏好的外国人会被严重误导。由于粗心或纯粹的坏运气，我们可能偶然进入一个不同于其他子群体的子群体，因此带有整体人群不反映的特征。

但辛普森悖论展示了比这更怪异的东西：有时群体的每个子群体都有某个特定特征，但整个群体却不显示那个特征。

在 2016-17NBA赛季，詹姆斯·哈登（James Harden，当时在休斯顿火箭队）的两分球命中率高于德玛尔·德罗赞（DeMar DeRozan，多伦多猛龙队）的两分球命中率。哈登的三分球命中率也高于德罗赞。然而德罗赞的总投篮命中率——两分球和三分球合计的命中百分比——却高于哈登。哈登两种投篮都更好，而且这是投篮命中率里唯一的两种投篮，德罗赞却总体更好。这怎么可能？

职业篮球迷会知道，对任何球员来说，两分球都比三分球容易投中，但哈登顽固地坚持给自己增加难度。在 2016-17 赛季，他尝试的两种投篮数量几乎相同（777 次三分球对 756 次两分球），而德罗赞尝试的两分球是三分球的 10 倍多。即使哈登每种投篮都更好，德罗赞做出了战略决策，更频繁地尝试高命中率投篮而非低命中率投篮。所以他总体成功率更高。

同样的现象出现在 1970 年代调查加州大学伯克利分校研究生院的性别偏见时。1973 年，44% 的男性申请者被伯克利研究生院录取，而只有 35% 的女性申请者成功。然而统计研究发现，各个系（实际做录取决定的）录取男女的比例大致相等，甚至更多地录取女性。问题是有些系比其他系难得多（对所有申请者），而女性不成比例地申请更有选择性的领域。

当然，这并不能消除所有偏见的可能性。一项研究发现女性申请更拥挤的领域是因为她们没有得到本科数学背景来学习资金更充足（因此能录取更多学生）的学科。但关于条件概率的更广泛观点成立：你不能假设整体人群反映其子群体的趋势，即使那些趋势出现在所有子群体中。你还必须考虑特征在子群体之间的分布。